10個出人意料的數學公式

來源:SOHU網    2019/6/19 0:07:52
責任編輯:王強
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原標題:10個出人意料的數學公式

作者,Sean Li 。原文《10 Mind Blowing Mathematical Equations》

翻譯,小米,哆嗒數學網翻譯組成員。

很多時候,人們認為數學公式只是為了記憶來應付考試的。但有些時候,數學公式的價值卻遠超于此——它們本身就是藝術品,為純粹的享受而生。今天我就收集了以此為目的的10個最驚人、眩目和瘋狂的數學公式。這些方程應該能向任何人說明,數學不僅僅只是公式的記憶。

1. 歐拉恒等式

這是一個非常著名的恒等式。它給出了3個看似隨機的量之間的聯系:π、e和-1的平方根。許多人認為這是數學中最漂亮的公式。

一個更一般的公式是e^(ix) =cosx+isinx (a^b表示a的b次方,下同)。當x=π,cosx取值為-1,而isinx取值為0。由-1+1=0,我們得到了歐拉恒等式。

2. 歐拉乘積公式

等式左邊的符號是無窮求和,而右邊的符號則是無窮乘積。這個公式也是歐拉首先發現的。它聯系了出現在等式左邊的自然數(如n=1,2,3,4,5等等)與出現在等式右邊的素數(如p=2,3,5,7,11等等)。而且我們可以選取s為任意大于1的數,并保證等式成立。

歐拉乘積公式的左邊是黎曼ζ函數最常見的一種表示形式。

3. 高斯積分

函數e^(-x?2;)本身在積分中是很難對付的。可是當我們對它在整個實數軸上積分,也就是說從負 無窮到正無窮時,我們卻得到了一個十分干凈的答案。至于為什么曲線下面的面積是π的平方根,這可不是一眼就能看出來的。

由于這個公式代表了正態分布,它在統計中也十分重要。

4. 連續統的基數

上面的公式說明了實數集的基數與自然數全體子集的基數相同。這首先是被集合論的建立者康托爾證明的。值得注意的是,這也說明了連續統是不可數,因為2^N > N。

一個相關的假設是連續統假設。這個假設是說,在N和R之間不存在其它的基數。有趣的是,這個假設有一個奇怪的性質:它既不能被證明也不能被證偽。

5. 階乘函數的解析延拓

階乘函數通常被定義為n!=n(n-1)(n-2)……1。但是這個定義只對n是正整數時有效,而上面積分方程則對分數和小數也有效,而且還可以用于負數、復數等等……

同樣的積分式中我們把n換成n-1就定義了伽馬函數。

6. 勾股定理

勾股定理恐怕是這個清單中最熟悉的公式了。它給出了直角三角形三邊的聯系,其中a和b是直角邊長,而c是斜邊長。這個公式還將三角形和正方形聯系了起來。

7. 斐波那契數列的通項

這里,注意到φ這個數字是黃金分割比例。很多人可能聽說過斐波那契數列(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…,數列中每一項是前兩項的和),卻很少人知道有一個公式能夠計算出任意某一項斐波那契數:這就是上面我們給出的公式,公式里面F(n)代表第n個斐波那契數。也就是說,為了得到第100個斐波那契數,你不需要去計算前99個,而只需要把100代入公式。

值得注意的是,即便在計算過程中出現了許多根號和除法,最后的答案總是一個精確的正整數。

8. 巴塞爾問題

這個公式告訴我們,如果你取所有完全平方數并將它們的倒數和相加,你將會得到pi^2/6。這是歐拉首先證明的。注意到這個式子只是在前面的第二個方程(歐拉乘積公式)中令s=2。后者是黎曼ζ方程,因此我們可以說ζ(2)的值是π?2;/6。

9. 調和級數

這個公式有點反直覺,因為它告訴我們,如果你把一些不斷變小的數(最終趨向0)加起來,最后將會得到無窮。可是如果你是取它們的平方,和卻是一個有限的值(答案是π?2;/6)。如果仔細觀察調和級數,你會發現它正是ζ(1)。

10. 素數計數公式的顯式表達

這個方程的重要性體現在:

素數是那些除了1和它本身以外沒有其它因子的數。小于100的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 。 由此可知,素數的出現沒有顯然的規律:對于一串連續正整數,有時候你會找到許多素數,有時候你會一個也找不到。找到很多或一個找不到似乎是完全隨機的。

很長時間以來,數學家都在嘗試給出素數分布的規律。上面的公式正是不大于一個給定數素數個數的顯式表達。

以下是各個符號的意義:

π(x): 素數計數函數。它給出了不大于一個給定數的素數個數。例如,π(6)=3,因為有3個素數不大于6:2,3,5。

μ(n): 莫比烏斯函數。它依據n的質因數分解而取值為0, -1或1。

Li(x): 對數積分函數。它被定義為函數1/lnt從2到x的積分。

ρ: 黎曼ζ函數的任意非平凡零點。

令人吃驚的是,整個公式的結果總是一個精確的正整數!這說明,給定一個實數,我們可以把它代入公式并得到不大于它的素數個數。存在著這樣一個公式的事實說明,素數的分布存在某些規律,只是我們現在還不能理解罷了。

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